Question

已知函数（其中p为常数，x∈[-2，2]）为偶函数．
（1）求p的值；
（2）用定义证明函数f（x）在（0，2）上是单调减函数；
（3）如果f（1-m）＜f（2m），求实数m的取值范围．

Answer 1

解（1）∵f（x）是偶函数，
∴，可得2px=0对任意x∈R恒成立，故p=0．…（4分）
（2）由（1）知函数表达式为：．
设0＜x₁＜x₂＜2，…（6分）
则．…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，且．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂）
因此，函数f（x）在（0，2）上是单调减函数．…（10分）
（3）由（2）得f（x）在[0，2]上为减函数，
∵f（x）是偶函数，所以f（x）在[-2，0]上为单调增函数．…（12分）
因此，不等式f（1-m）＜f（2m）可化为：2≥|1-m|＞|2m|≥0，
∴4＞（1-m）²＞（2m）²，解之得．
所以满足f（1-m）＜f（2m）的实数m的取值范围是．…（16分）
分析：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）任意x∈R恒成立，代入解析式结合比较系数法，可得实数p的值；
（2）由（1）知函数解析式为，再设0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）与f（x₂）作差，因式分解后经过讨论可得
f（x₁）＞f（x₂），因此，函数f（x）在（0，2）上是单调减函数；
（3）因为f（x）在[0，2]上为减函数，f（x）又是偶函数，所以f（x）在[-2，0]上为单调增函数．因此，原不等式等价于2≥|1-m|＞|2m|≥0，用平方的方法，可解得实数m的取值范围．
点评：本题在含有参数的分式函数的奇偶性已知的情况下，求参数的值并且讨论了函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性等知识点，属于中档题．