Question

已知命题p：当x∈R时，不等式x²-2x+m＞0恒成立；命题q：方程x²-my²=1表示双曲线．若命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别判定命题p，q为真命题时的等价条件，然后利用命题p和命题q中有且只有一个是真命题，确定m的取值范围．

解答：解：要使不等式x²-2x+m＞0恒成立，则△=4-4m＜0，即m＞1．即p：m＞1．
方程x²-my²=1表示双曲线，则m＞0，即q：m＞0．
因为命题p和命题q中有且只有一个是真命题，
所以若p真q假，则

m＞1 m≤0

，此时不等式组无解．
若p假q真，则

m≤1 m＞0

，即0＜m≤1．
综上实数m的取值范围0＜m≤1．

点评：本题主要考查命题真假的应用，要求熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件以及双曲线的方程特点．