Question

(本题满分16分)A、B是函数f(x)=+的图象上的任意两点，且=()，已知点M的横坐标为.
(Ⅰ)求证：M点的纵坐标为定值；
(Ⅱ)若S_n=f()+f()+…+f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；
(Ⅲ)已知数列{a_n}的通项公式为. T_n为其前n项的和，若T_n<(S_n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)证明：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(,y_m)，由得
即x₁+x₂="1."



即M点的纵坐标为. …………………………………………………4分
(Ⅱ)当n≥2时，∈(0,1)，又=…=x₁+x₂，
∴=…=f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1.
…，又…，
∴2S_n=n-1，则(n≥2，n∈N₊). ……………………………10分
(Ⅲ)由已知T₁=a₁=，n≥2时，，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=…=.
当n∈N₊时，T_n<(S_n+1+1)，即>，n∈N₊恒成立，则>.
而(n=2时“＝”成立)，
∴，∴实数的取值范围为(,+∞). ……………………16分

略