Question

过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂,l₁交x轴于A点,l₂交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解法一:如图,设点M的坐标为(x,y),

∵M为线段AB的中点,

∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂过点P(2,4),

∴PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.而k_PA=,k_PB=(x≠1),

∴ =-1(x≠1),整理,得x+2y-5=0(x≠1).

∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),

∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.

综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二:如下图,设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM.

∴l₁⊥l₂.

∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,

|AB|=,

∴2=.

化简,得x+2y-5=0,故点M的轨迹方程为x+2y-5=0.