Question

1．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2\end{array}\right.$，参数α∈[0，2π]．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上任一点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的平方关系式，消去参数，即可得到直角坐标方程．
（2）求出直线的直角坐标方程，通过直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离求解最值即可．

解答 解：（1）因为曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2\end{array}\right.$，参数α∈[0，2π]，
所以曲线C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4…（3分）
（2）∵$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}ρcosθ=5$，即$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+10=0$…（6分）
由（1）知曲线C的方程为x²+（y-2）²=4，是（0，2）为圆心，半径为2的圆．
圆心到直线的距离$d=\frac{|-2+10|}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}}}=4$，
圆与直线l相离，…（9分）
所以圆C上任一点到直线l的距离的最大值为4+2=6…（10分）

点评 本题考查圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．