Question

（2013•嘉定区一模）已知双曲线C的方程为x²-

y2

4

=1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足

AP

=λ•

PB

（其中λ∈[

1

2

，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由A（m，2m），B（-n，2n），根据

AP

=λ•

PB

得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式；
（2）设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．

解答：解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，-2n），设P（x，y）
由

AP

=λ•

PB

，得

x= m+λn 1+λ y= 2m-2λn 1+λ

，故P点的坐标为（

m+λn

1+λ

，

2(m-λn)

1+λ

），…（3分）
将P点的坐标代入x²-

y2

4

=1，化简得，mn=

(1+λ)2

4λ

．…（3分）
（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=

4

5

．…（1分）
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
所以S_△AOB=

1

2

|OA||OB|sin2θ=2mn=

1

2

•

(1+λ)2

λ

=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，…（3分）
记S（λ）=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，λ∈[

1

2

，3]）．
则S（λ）在λ∈[

1

2

，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．…（2分）
所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值

8

3

．
所以△AOB面积的取值范围是[2，

8

3

]．…（2分）

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．