Question

13．若${（a{x^2}+\frac{b}{x}）^6}$的展开式中x³的系数为20，则a²+b²的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，求出x³的系数，得出ab的值，再利用基本不等式求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵${（{ax}^{2}+\frac{b}{x}）}^{6}$的展开式中x³的系数为20，
且T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（ax²）^6-r•${（\frac{b}{x}）}^{r}$=a^6-r•b^r•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令12-3r=3，
解得r=3；
∴a³•b³•${C}_{6}^{3}$=20；
∴ab=1，
∴a²+b²≥2ab=2，当且仅当a=b时，取“=”；
∴a²+b²的最小值为2．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．