Question

已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成等差数列．
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标为（x，y），再由M和N的坐标，表示出

MP

，

MN

，及

NP

，根据

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则化简后，即可得到曲线C的方程；
（2）设切线方程的斜率为k，根据A的坐标表示出切线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，由直线与圆相切，得到d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程，设M和N为对应切线的切点，根据垂径定理，由|OA|，|OM|，利用勾股定理求出|AM|的长，以A为圆心，|AM|长为半径写出圆A的标准方程，MN即为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求出公共弦MN所在的直线方程．

解答：解：（1）设动点P（x，y），
则

PM

=-

MP

=(-1-x，-y)，

PN

=-

NP

=(1-x，-y)，

MN

=-

NM

=(2，0)

MP

•

MN

=2(1+x)，

PM

•

PN

=x2+y2-1，

NM

•

NP

=2(1-x)
于是由

MP

•

MN

+

NM

•

NP

=2

PM

•

PN

得：2（x²+y²-1）=2（1+x）+2（1-x），
化简得：x²+y²=3即为所求的轨迹方程；
（2）设切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由

|4-2k|

k2+1

=

3

⇒k=8±

51

，
所以切线方程为：y-4=(8±

51

)(x-2)，
设M、N为对应切线的切点，则0A²=OM²+AM²，所以|AM|=

17

，
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x-2）²+（y-4）²=17，
则MN即为两圆的公共弦，
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y-3=0．

点评：此题考查了圆的切线方程，等差数列的性质，平面向量的数量积运算，点到直线的距离公式，轨迹方程，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，第二问求出圆A的方程，得出MN为圆A和圆C的公共弦，是求公共弦MN所在直线方程的关键．