Question

12．设x₁=a，x₂=b，x_n+2=$\frac{{x}_{n+1}{+x}_{n}}{2}$（n=1，2，…），求$\underset{lim}{n→∞}$x_n．

Answer 1

分析 化简可得解x_n+2-x_n+1=-$\frac{1}{2}$（x_n+1-x_n），从而可得{x_n+1-x_n}是以x₂-x₁为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；从而利用累加法求和再求极限即可．

解答 解：x_n+2-x_n+1=$\frac{{x}_{n+1}{+x}_{n}}{2}$-x_n+1
=-$\frac{1}{2}$（x_n+1-x_n），
故{x_n+1-x_n}是以x₂-x₁为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
∴x_n+1-x_n=（b-a）$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴x_n-x_n-1=（b-a）（-$\frac{1}{2}$）^n-2，x_n-1-x_n-2=（b-a）（-$\frac{1}{2}$）^n-3，
…，x₂-x₁=（b-a）（-$\frac{1}{2}$）⁰，x₁=a；
∴x_n=（b-a）$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-（-\frac{1}{2}）}$+a
=$\frac{2}{3}$（b-a）[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]+a，
故$\underset{lim}{n→+∞}{x}_{n}$=$\frac{2}{3}$（b-a）+a=$\frac{2}{3}$b+$\frac{1}{3}$a．

点评 本题考查了数列的化简与应用，同时考查了等比数列的应用，同时考查了极限的求法．