Question

（2013•金华模拟）若函数f（x）=sin2x+acos2x的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象对应的函数是偶函数，则a的值为

-

3

3

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式为

1+a2

sin（2x+∅），根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得平移后得到的函数是F（x）=sin2（x+

π

3

）+acos2（x+

π

3

），根据函数F（x）是偶函数，可得F（0）=±

1+a2

，由此求得a的值．

解答：解：∵函数f（x）=sin2x+acos2x=

1+a2

sin（2x+∅），其中，cos∅=

1

1+a2

，sin∅=

a

1+a2

．
函数f（x）=sin2x+acos2x的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象对应的
函数是F（x）=sin2（x+

π

3

）+acos2（x+

π

3

），
由于函数F（x）是偶函数，故有F（0）=±

1+a2

．
又F（0）=sin

2π

3

+acos

2π

3

=

3

2

-

1

2

a，∴(

3

2

-

1

2

a)2=1+a²，
即(

3

a+1)2=0，解得 a=-

3

3

．

点评：本题主要考查辅助角公式的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，偶函数的定义和性质，属于中档题．