Question

如图：已知P是正方形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD内的射影O是正方形的中心，PO=OD=a，E是PD的中点
（1）求证：PD⊥平面AEC
（2）求直线BP到平面AEC的距离
（3）求直线BC与平面AEC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由PO⊥面ABCD，O为正方形ABCD的中心，可得PA=PC=CD=DA，结合E是PD的中点，及等腰三角形三线合一，可得PD⊥CE，PD⊥AE，进而由线面垂直的判定定理得到PD⊥平面AEC
（2）由三角形中位线定理可得OE∥PB，由线面平行的判定定理可和PB∥面AEC，即直线PB与平面AEC的距离为P点到面AEC的距离，结合（1）中结论，可得PE长即为所求
（3）AD∥BC PD⊥面AEC，故∠EAD为直线BC与面AEC所成的角，结合（1）中结论可求出大小．

解答：证明：（1）∵PO⊥面ABCD，O为正方形ABCD的中心
∴PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA
∵E为PD的中点
∴PD⊥CE，PD⊥AE
又∵AE∩CE=E
∴PD⊥面AEC
解：（2）∵O、E是中点
∴OE∥PB
∴PB∥面AEC
直线PB与平面AEC的距离为P点到面AEC的距离
∵PD⊥面AEC
∴PE为P点到面AEC的距离为

2

2

a
（3）AD∥BC  PD⊥面AEC
∴∠EAD为直线BC与面AEC所成的角为30°

点评：本题考查的知识点是点，线，面间的距离计算，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，是空间线面关系及夹角，距离是综合应用，难度中档．