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2.如图所示,在圆柱OO1中,AB,CD是底面圆O的两条直径,CC1,DD1是圆柱OO1的两条母线,且AC=1,BC=CC1=$\sqrt{3}$.
(I) 证明:平面C1CA⊥平面C1CB;
(Ⅱ)在母线DD1上找一点P使得二面角C1-AB-P的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$,并说明点P的位置.

分析 (I) 根据面面垂直的判定定理证明AC⊥平面C1CB即可证明:平面C1CA⊥平面C1CB;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可结合二面角的余弦值建立方程进行求解即可.

解答 (I) 证明:由题意得C1C⊥平面ACB,则CA⊥C1C,
在圆O内,AB是直径,则∠ACB=90°,即AC⊥CB,
∵C1C∩CB=C,C1C,CB?平面C1CB,
则AC⊥平面C1CB,
∵AC?平面C1CA,
∴平面平面C1CA⊥平面C1CB;
(Ⅱ)建立以C为坐标原点,CA,CB,CC1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
则C1(0,0,$\sqrt{3}$),A(1,0,0),B(0,$\sqrt{3}$,0),设P(1,$\sqrt{3}$,b),
设平面C1AB的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,
令x=$\sqrt{3}$,则y=1,z=1,
则$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,1,1),
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+bz=0}\end{array}\right.$,
令x=$\sqrt{3}$,则y=1,z=$-\frac{\sqrt{3}}{b}$,则$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,1,$-\frac{\sqrt{3}}{b}$),
则cos$<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{4-\frac{\sqrt{3}}{b}}{\sqrt{5}•\sqrt{4+\frac{3}{{b}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
则P(1,$\sqrt{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),则当DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
即P为DD1的靠近D1的三等分点.

点评 本题考查了空间中的面面垂直的判定以及二面角的求解,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.

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