Question

2．如图所示，在圆柱OO₁中，AB，CD是底面圆O的两条直径，CC₁，DD₁是圆柱OO₁的两条母线，且AC=1，BC=CC₁=$\sqrt{3}$．
（I） 证明：平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）在母线DD₁上找一点P使得二面角C₁-AB-P的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，并说明点P的位置．

Answer 1

分析 （I） 根据面面垂直的判定定理证明AC⊥平面C₁CB即可证明：平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可结合二面角的余弦值建立方程进行求解即可．

解答 （I） 证明：由题意得C₁C⊥平面ACB，则CA⊥C₁C，
在圆O内，AB是直径，则∠ACB=90°，即AC⊥CB，
∵C₁C∩CB=C，C₁C，CB?平面C₁CB，
则AC⊥平面C₁CB，
∵AC?平面C₁CA，
∴平面平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则C₁（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），设P（1，$\sqrt{3}$，b），
设平面C₁AB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则y=1，z=1，
则$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+bz=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则y=1，z=$-\frac{\sqrt{3}}{b}$，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$-\frac{\sqrt{3}}{b}$），
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{4-\frac{\sqrt{3}}{b}}{\sqrt{5}•\sqrt{4+\frac{3}{{b}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则P（1，$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），则当DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即P为DD₁的靠近D₁的三等分点．

点评 本题考查了空间中的面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．