Question

7．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}+sinx+1$的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 细分析可以看出，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+sinx是一个奇函数，则该函数的最大（小）值加1就是原函数的最大（小）值，而奇函数的最大值与最小值互为相反数，所以该题即可获解．

解答 解：令g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+sinx，则g（-x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数，设其最大值为M，
则由奇函数的图象可知，其最小值为-M，
∴f（x）_min=1-M，f（x）_max=1+M，
∴f（x）_min+f（x）_max=2．
故答案为：2．

点评 此题没有按常规考查函数的最值的求法，即利用单调性，而是在将原函数变形的基础上，通过观察分析将原函数的最值转化为一个奇函数的最大值、最小值的问题，由奇函数的图象可得，其最大值、最小值互为相反数，所以原函数的最值之和为2．此题有一定难度．