Question

把正偶数数列{2n}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
设a_ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2008（已知45×46=2070，44×45=1980），求m，n的值；
（2）若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，已知cn=

2 [ 3]bn-n+1

2n

，（n∈N^*）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由题义正偶数a_n为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整数解．
（II）若将n²+n看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，求出b_n，从而求出c_n，根据通项公式的特点，最后利用错位相消法求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（I）∵三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

个数，
∴第m行最后一个数应当是所给偶数数列中的第

m(m+1)

2

项．
故第m行最后一个数是2•

m(m+1)

2

=m2+m（2分）
因此，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整数解．
∵f（x）=x²+x在（0，+∞）上是增函数，又∵45×46＞2008＞44×45∴m=45
于是，第45行第一个数是44²+44+2=1982∴n=

2008-1982

2

+1=14 （5分）
（II）∵第n行最后一个数是n²+n，且有n个数，若将n²+n看成第n行第一个数，
则第n行各数成公差为-2的等差数列，故bn=n(n2+n)+

n(n-1)

2

(-2)=n3+n．
∴cn=

2 3 n3+n-n +1

2 n

=

2n+1

2n

（6分）
故Sn=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+…+(2n+1)(

1

2

)n
∵

1

2

Sn=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n+1)(

1

2

)n+1，
两式相减得：

1

2

Sn=3×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+2×(

1

2

)n-(2n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=5-(2n+5)•

1

2n

（8分）

点评：此题重点考查了等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，以及错位相减法进行求和，另外还考查了学生的观察与分析能力，属于中档题．