Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.

Answer 1

（1）+y²=1  （2）（0,±）  （3）2

解:(1)因为=,且c=,
所以a=,b==1.
所以椭圆C的方程为+y²=1.
(2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).
由
得x=±.
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时,|t|=.
解得t=±.
所以圆心P的坐标是（0,±）.
(3)由(2)知,圆P的方程为x²+(y-t)²=3(1-t²).
因为点Q(x,y)在圆P上,
所以y=t±≤t+.
设t="cos" θ,θ∈(0,π),
则t+="cos" θ+sin θ=2sin（θ+）.
当θ=,即t=,且x=0时,y取最大值2.