Question

设l满足约束条件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则

1

a

+

1

b

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAC），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），则y=-

a

b

x+

z

b

，
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点是，直线的截距最大，此时z最大为1．
由

3x-y-2=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

．即C（1，1），
代入目标函数z=ax+by得a+b=1．
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+b）=1+

a

b

+

b

a

+1=2+

a

b

+

b

a

≥2+2

a b • b a

=2+2=4，
当且仅当

a

b

=

b

a

即a=b=

1

2

时取等号，
∴

1

a

+

1

b

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用基本不等式的性质可求

1

a

+

1

b

的最小值．