Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=

π

3

，E、F分别为AD、BC的中点．
（I）求证：EF∥面PCD；
（II）求证：AC⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（I）要证：EF∥面PCD，只需证明EF∥CD即可；
（II）要证：AC⊥平面PAB，只需证明AC⊥PA，AC⊥AB，即可．

解答：证明：（I）因为在平行四边形ABCD中，
E、F分别为AD、BC的中点，
所以ED=FC，ED∥FC，
从而EFCD为平行四边形，所以EF∥CD，
又因为EF不在平面PCD，CD?平面PCD
所以EF∥平面PCD．
（II）因为PA⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，故PA⊥AC．
在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=

π

3

．
由余弦定理得AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC

=

1+4-2×2×2× 1 2

=

3

故AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC
而PA∩AB=A且AB，PA?平面PAB，∴AC⊥平面PAB

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．