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设函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,+∞)时,恒有f(f(x))=2x,且过f(x)图象上,任意两点的直线的斜率都大于1,
求证:(1)f(x)为增函数;
(2)f(x)>x;
(3)数学公式

证明:(1)设x1>x2>0

∴f(x)为增函数
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当x∈(0,+∞)时,恒有f(f(x)=2x
∴f(x)>0
若f(x)=x,则f(f(x))=f(x)=2x=x不符合要求
若f(x)<x,则f[f(x)]<f(x)得2x<x
∴x<0不符合题意要求
∴f(x)>x
(3)∵过f(x)图象上任意两点的直线的斜率都大于1


∵过f(x)图象上任意两点的直线的斜率都大于1



分析:(1)在区间(0,+∞),任取x1>x2,根据f(x)图象上任意两点的直线的斜率都大于1,我们可以得到f(x1)>f(x2),进而根据函数单调性的定义,得到f(x)为增函数;
(2)由已知中函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,+∞)时,恒有f(f(x))=2x,分别讨论f(x)=x,f(x)<x,是否符合题目要求,进而可得f(x)>x恒成立;
(3)由已知中当x∈(0,+∞)时,恒有f(f(x))=2x,及f(x)图象上任意两点的直线的斜率都大于1,取(x,f(x))点和(f(x),f[f(x)])点,可得,取(f(x),f[f(x)])点和(f[f(x)],f{f[f(x)]})点,可得,进而得到结论.
点评:本题考查的知识点是函数的单调性,穷举法证明,抽象函数的值域,其中(1)中根据已知选取作商法比较简便,(2)中要用穷举法分别讨论f(x)=x,f(x)<x,是否符合题目要求,而(3)的关键是利用抽象函数解答中“凑”的思想.
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a>b
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]
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=
1
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