Question

【题目】证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设长方体棱长为.依题意有.

问题转化为证明方程有无穷多组正整数解(),且三数中,

任意两数之积皆可表示为两个正整数的平方和.

首先,定义数列: .

引理 (1),特别地;

(2),特别地;

(3).

引理的证明:(1)令.则.

因为,

所以, ,即.

(2)对归纳:

显然成立.

设时,.当时,

,

即对成立.

所以,.

取为特例.

(3)当时,成立,

设时,.

当时,因是方程的根,另一个根为

.

所以,.

故.

回到原题.由引理(3)知,是的解,

且由引理(2)、(1)得

,

,

.

所以,原方程有无穷多组正整数解(),使得三数中,

任意两数之积皆可表示为两个正整数的平方和.

因此,原题结论成立.