Question

在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-

3

，0)，(

3

，0)，三个内角A、B、C满足2sinB=

3

(sinA+sinC)．
（1）求顶点B的轨迹方程；
（2）过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈（0，

π

2

)时，求△APQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由2sinB=

3

(sinA+sinC)，根据正弦定理得2b=

3

(a+c)，结合b=2

3

，可得a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，可求
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+

3

）联立直线与椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据方程的根与系数关系可求得x₁+x₁，x₁x₂，然后可求|PQ|及点A到PQ的距离d，代入可求△ABC的面积，由基本不等式可求最大值

解答：解：（1）因为2sinB=

3

(sinA+sinC)，根据正弦定理得2b=

3

(a+c)
又b=2

3

，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为

x2

4

+y2=1(y≠0)
（2）设PQ方程为y=tanθ（x+

3

），θ∈（0，

π

2

)
由

y=tanθ(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

得（1+4tan²θ）x²+8

3

xtan²θ+12tan²θ-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8 3 tan2θ

1+4tan2θ

，x1•x2=

12tan2θ-4

1+4tan2θ

，
又|PQ|=

4(1+tan2θ)

1+4tan2θ

，点A到PQ的距离d=

|2 3 tanθ|

1+tan2θ

，θ∈（0，

π

2

)
S_△ABC=

4 3 tanθ•secθ

1+4tan2θ

=

4 3 sinθ

1+3sin2θ

=

4 3

1 sinθ +3sinθ

≤2
当且仅当

1

sinθ

=3sinθ，即θ=arcsin

3

3

时取等号，△APQ的最大面积为2．

点评：本题主要考查了由三角形的正弦定理求解点的轨迹方程，直线与曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合试题