Question

6．设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{C}{2}$，sin$\frac{C}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{C}{2}$，cos$\frac{C}{2}$），且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的角为$\frac{π}{3}$．
（1）求角C的值；
（2）已知边$c=\frac{7}{2}$，△ABC的面积$S=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算，两角差的余弦函数公式可求$cosC=cos\frac{π}{3}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）由已知及余弦定理可求$\frac{49}{4}={a^2}+{b^2}-ab$，利用三角形面积公式可求ab=6，联立即可解得a+b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$•||$\overrightarrow{n}$|•cos$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=1，…（2分）
∴$cos\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}（-sin\frac{C}{2}）=cos\frac{π}{3}$，即$cosC=cos\frac{π}{3}$，…（4分）
又∴C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由c²=a²+b²-2abcosC，得 $\frac{49}{4}={a^2}+{b^2}-ab$，①
由${S_△}=\frac{1}{2}ab•sinC得ab=6$，②…（10分）
由①②得${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，
∵a、b∈R⁺
∴$a+b=\frac{11}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角差的余弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．