Question

（2012•商丘二模）已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：设P（ acosα，bsinα），求出k₁和k₂ 的值，化简|k₁|+|k₂|=

2b

asinα

≥

2b

a

，可得

2b

a

=1，即a=2b，再由 e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3b2

2b

求得结果．

解答：解：设P（ acosα，bsinα），∵M（a，0），则N（-a，0），∴k₁=

bsinα

acosα-a

，k₂=

bsinα

acosα+a

．
∴|k₁|+|k₂|=

bsinα

a(1-cosα)

+

bsinα

acosα+a

=

bsinα(1+cosα)+bsinα(1-cosα)

a(1-cosα)(1+cosα)

=

2bsinα

asin2α

=

2b

asinα

≥

2b

a

，
由题意可得

2b

a

=1，即a=2b，故 e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3b2

2b

=

3

2

，
故选C．

点评：本题考查椭圆的有关性质，涉及三角函数的运算与不等式的有关知识，有一定的难度，注意加强训练，属于中档题．