Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆左焦点的直线交于， 两点，若对满足条件的任意直线，不等式 恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）采用待定系数法，根据条件所给的几何关系列式，再结合 ，解出 ；（2）首先分两种情况，当直线与轴垂直的时候，可得出两点的坐标，从而计算可得的值，当直线与轴不垂直的时候，设直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，带入的坐标关系,得到函数的最大值，比较两种情况下的最大值， ，从而得出的最小值.

试题解析：（1）依题意， ，

解得， ， 椭圆的标准方程为.

（2）设，

，

当直线垂直于轴时， ， 且，

此时， ， .

当直线不垂直于轴时，设直线： ，

由，得，

， ，

要使不等式 恒成立，

只需，即的最小值为.