Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求二面角D﹣AE﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO，

∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点，

又E为的PD的中点，∴EO∥PB，

EO平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，

∴AB，AD，AP两两垂直，

如图，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，

建立空间直角坐标系A﹣xyz，

∵AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，

∴三棱锥P﹣ABD的体积 ，得 ．

则A（0，0，0），D（0， ，0），B（ ，0，0），E（0， ， ），C （ ， ，0），

则 =（0， ， ）， =（ ， ，0）

设 为平面ACE的法向量，

则 ，即 ，令x=1，得 ， ，则 =（1， ， ），

又 为平面DAE的法向量，

∴cos＜ ＞= ，

如图可得二面角D﹣AE﹣C为锐角，∴二面角D﹣AE﹣C为 ．

【解析】（1）连结BD交AC于点O，连结EO，由已知可得EO∥PB，然后利用线面平行的判定可得PB∥平面AEC；（2）由PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，可得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，再由三棱锥P﹣ABD的体积V= 求得AB，得到A，D，B，E，C的坐标，然后求出平面ACE与平面DAE的法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角D﹣AE﹣C的大小．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．