Question

设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x₁、x₂是R上任意两个不等的实根，设|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且y=f（x）为奇函数，判断函数y=g（x）的奇偶性并说明理由．

Answer 1

分析：由y=f（x）为奇函数，令x₁=x，x₂=-x代入不等式可求得g（x）+g（-x）=0，根据奇偶函数的定义即可作出判断．

解答：解：函数y=g（x）为奇函数，以下证明：
令x₁=x，x₂=-x，
则|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|即为|f（x）+f（-x）|≥|g（x）+g（-x）|，
又由已知y=f（x）为奇函数，故f（x）+f（-x）=0，
所以|g（x）+g（-x）|≤0，可知g（x）+g（-x）=0对任意的x都成立，
又g（x）是定义在R上的函数，定义域关于原点对称，
所以y=g（x）为奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性的性质及其判断，属中档题，解决本题的关键是充分利用y=f（x）的奇偶性给不等式恰当赋值．