Question

（2013•青岛二模）一同学为研究函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是

2

．

Answer 1

分析：由题意可得当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为

5

＜

9

4

，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

9

4

．g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=

9

4

的解的个数，而由题意可得 f（x）=

9

4

的解有2个，从而得出结论．

解答：解：由题意可得 函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为

5

＜

9

4

，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

9

4

．
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=

9

4

．故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=

9

4

的解的个数．
而由题意可得 f（x）=

9

4

的解有2个，
故答案为 2．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．