【题目】设命题“关于
的不等式
对任意
恒成立”,命题
“函数
在区间
上是增函数”.
(1)若为真,求实数
的取值范围;
(2)若为假,
为真,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据为真时函数
在区间[1,2]上是增函数,得到
在
时恒成立,分离m,求得不等式右边的最大值即可.
(2)先求出组成复合命题的简单命题分别为真时m的取值范围,再分别求出当p真q假时和当q真p假时m的取值范围,再求并集可得答案.
(1)若为真,则函数
在区间[1,2]上是增函数,
所以在
时恒成立
∴恒成立,
设.则
.
令,解得
,所以
在
递减,在
递增,
因为,所以
,
又当m≥6时,在区
上是增函数
所以当为真时,m≥6
(2)因为关于x的不等式对任意
恒成立
∴,即m≥1,当命题p为真时,
为假,
为真
∴一真一假,
①当p真q假时,解得1≤m<6;
②当p假q真时,解得
;
综上:实数的取值范围为
.
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【题目】有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
抽取人数 | 6 |
(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
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【题目】已知动圆过定点,且在
轴上截得线段
的长为 4,直线
交
轴于点
.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)直线与轨迹
交于
两点,分别以
为切点作轨迹
的切线交于点
,若
.试判断实数
所满足的条件,并说明理由.
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 命题“
”,则
:“
”
B. 命题“若,则
”的否命题是真命题
C. 若为假命题,则
为假命题
D. 若是
的充分不必要条件,则
是
的必要不充分条件
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【题目】已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆C上一点,若过点的直线
与椭圆C相交于不同的两点S和T,
满足(O为坐标原点),求实数
的取值范围.
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【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差
;
(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“
级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“
级”的用户所占的百分比是多少?(精确到
)
参考数据:.
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【题目】甲、乙两人进行射击比赛,各射击局,每局射击
次,射击命中目标得
分,未命中目标得
分,两人
局的得分情况如下:
甲 | ||||
乙 |
(Ⅰ)若从甲的局比赛中,随机选取
局,求这
局的得分恰好相等的概率.
(Ⅱ)如果,从甲、乙两人的
局比赛中随机各选取
局,记这
局的得分和为
,求
的分布列和数学期望.
(Ⅲ)在局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出
的所有可能取值.(结论不要求证明)
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