Question

已知函数f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，f（x）在[b，+∞）上为增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f （x）在 R 上具有单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的单调递增区间是[-1，+∞），根据f（x）在[b，+∞）上为增函数，可得[b，+∞）⊆[-1，+∞），从而可求b的取值范围；
（Ⅱ）化简f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

再进行分类讨论：①-1＜a＜1时，函数f （x） 在R上是增函数；②a=1或-1时，易知不合题意；③当a＞1，a＜1时，函数f（x）在R上不具有单调性，由此可得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的单调递增区间是[-1，+∞），
因为f（x）在[b，+∞）上为增函数，所以[b，+∞）⊆[-1，+∞），故b≥-1
（Ⅱ）化简f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

①-1＜a＜1时，
当x≥-1时，f（x）=（a+1）x+a是增函数，且f（x）≥f（-1）=-1；
当x＜-1时，f（x）=（1-a）x-a是增函数，且f（x）＜f（-1）=-1．
所以，当-1＜a＜1时，函数f （x） 在R上是增函数．
②a=1或-1时，易知不合题意．
③当a＞1时，f（x）在[-1，+∞）为增函数，而在（-∞，-1）上为减函数，故函数f（x）在R上不具有单调性；
同理，当a＜1时，函数f（x）在R上也不具有单调性．
综上可知，a的取值范围是 （-1，1）

点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用绝对值的几何意义，将绝对值符号化去．