Question

现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时的全程运输成本为
30000元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？

Answer 1

解：（1）由题意得，每小时燃料费用为kx²（其中0＜x≤45），全程所用时间为小时；
则全程运输成本为y=，x∈（0，45]；
当x=20时，y=30000，可得k=0.6；
故所求的函数为y=，x∈（0，45]；
（2）函数y=，
当且仅当，即x=40时取等号；
所以，当轮船的速度为40海里/小时时，所需成本最小．
分析：（1）轮船每小时燃料费用为kx²（0＜x≤45），全程所用时间为小时，则全程运输成本y=（每小时燃料费用+其余费用）×全程所用时间，代入整理可得函数y的解析式；
（2）由函数y的解析式，应用基本不等式，可以求得函数的最小值以及对应的x的值．
点评：本题考查了运输成本与速度关系的函数模型的应用，并应用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函数最值，是 基础题目．