分析 设f(x)=ln(1+x2)-x,运用导数判断单调性,可得ln(1+x2)<x,利用放缩法即可证明不等式.
解答 证明:设f(x)=ln(1+x2)-x,
则f′(x)=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-1=$\frac{-(x-1)^{2}}{1+{x}^{2}}$≤0,
可得函数f(x)在R上单调递减.
当x>0时,f(x)<f(0),
所以ln(1+x2)-x<0,即ln(1+x2)<x.
所以ln(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)…(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)
=ln(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)+ln(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)+…+ln(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)
<$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n(n-1)}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$<1,
所以(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)…(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)<e.
点评 本题考查了不等式的证明,考查利用导数研究函数的单调性问题,以及利用函数的单调性证明不等式,在证明不等式的过程中使用了放缩法证明不等式,综合性较强,难度较大.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | x2+y2+4x-3y=0 | B. | x2+y2-4x-3y=0 | C. | x2+y2+4x-3y-4=0 | D. | x2+y2-4x-3y+8=0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3$\sqrt{2}$ | C. | 18 | D. | $\sqrt{2}$ |
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