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过椭圆+=1的左焦点F作椭圆的弦AB.如图
(1)求此椭圆的左焦点F的坐标和椭圆的准线方程(x=±);
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.

【答案】分析:(1)由方程知 a=,b=2,从而求得焦点坐标和离心率的值.
(2)由  消y得:(4+5k2)x2+10k2 x+5k-20=0,故 x1+x2=,再由中点公式得x=,又由  y=k(x+1)可得  4x2+4x+5y2=0,即为所求.
解答:解:(1)由方程知 a=,b=2,故左焦点F(-1,0),
离心率 e==
(2)设M(x,y),A( x1,y1 ),B(x2,y2 ),直线AB方程为 y=k(x+1),
 消y得:(4+5k2)x2+10k2 x+5k-20=0,
∴x1+x2=,因为M是AB中点,有 x=
∴x=,∴k2=
又由  y=k(x+1)可得  y2=k2(x+1)2,∴y2= (x+1)2
∴5y2=-4x(x+1),即 4x2+4x+5y2=0,即 4+5y2=1,
当直线AB的斜率k不存在时,AB⊥x轴,AB中点M 的坐标为(-1,0),也适合上述方程,
故  4+5y2=1 为所求.
点评:本题考查点轨迹方程的求法,椭圆的简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,得到 y2= (x+1)2,是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为
1
2
,且点(1,
3
2
)在该椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为
6
2
7
,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.

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(2013•泰安二模)已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,点M是椭圆上的任意一点,且|PF1|+|PF2|=4,椭圆的离心率e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左焦点F1作直线l交椭圆于P、Q两点,点A为椭圆右顶点,能否存在这样的直线,使
AP
AQ
=3
,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

过椭圆数学公式+数学公式=1的左焦点F作椭圆的弦AB.如图
(1)求此椭圆的左焦点F的坐标和椭圆的准线方程(x=±数学公式);
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.

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已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1的左焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(  )

A.k∈

B.k∈

C.k∈

D.k∈

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