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    精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
    AM
    =2
    AP
    ，
    NP
    •
    AM
    =0，点N的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|．
    分析：（1）利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=2
    		2
    ＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程．
    （2）点斜式写出直线l方程，代入曲线E的方程，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|HQ|．
    解答：解：（1）设点N的坐标为（x，y），∵
    AM
    =2
    AP
    ，∴点P为AM的中点，
    ∵
    NP
    •
    AM
    =0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
    又点N在CM上，设圆的半径是 r，则 r=2
    		2
    ，
    ∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2
    		2
    ＞AC，∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
    ∵2a=2
    		2
    ，c=1，∴b=1，∴椭圆 
    x2
    2
    +y2=1，即曲线E的方程：
    x2
    2
    +y2=1．
    （2）∵过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，∴直线l方程为 y-0=x-1，
    代入曲线E的方程得：3x2-4x=0，∴x1+x2=
    2
    3
    ，x1•x2=0，
    由弦长公式得：|HQ|=
    		1+1
    •
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    2
    		2
    3
    ，
    点评：本题考查用定义法求轨迹方程，及直线与椭圆的位置关系，利用弦长公式求出弦长，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足
    AM
    =2
    AP
    ，
    NP
    •
    AM
    =0    ，点N的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
    FG
    =λ
    FH
    ，求λ    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
    AM
    =2
    AP
    ，
    NP
    •
    AM
    =0，点N的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）过点S（0，
    1
    3
    ）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足
    GP
    =
    GA
    +
    GB
    使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG=
    1
    2
    FH    ，求直线l的方程；
    （3）设曲线E的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交曲线于Q，S两点，过F2的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
    （ⅰ）设W（x0，y0），证明：
    x
    2
    0
    2
    +
    y
    2
    0
    ＜1    ；
    （ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•石景山区一模）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
    AM
    =2
    AP
    ，
    NP
    •
    AM
    =0    ，点N的轨迹为曲线E．
    （Ⅰ） 求曲线E的方程；
    （Ⅱ） 若点B1（x1，y1），B2（-1，y2），B3（x3，y3）在曲线E上，线段B1B3的垂直平分线为直线l，且|B1A|，|B2A|，|B3A|成等差数列，求x1+x3的值，并证明直线l过定点；
    （Ⅲ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
    FG
    =λ
    FH
    ，求λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
    AM
    =2
    AP
    ，
    NP
    •
    AM
    =0，点N的轨迹方程是（　　）
    A、
    x2
    2
    +y2=1
    B、
    x2
    2
    -y2=1
    C、x2+
    y2
    2
    =1
    D、x2-
    y2
    2
    =1

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