Question

（任选一题）
①已知函数f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）试判断方程ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k=0有几个实根．
②已知f′（x）为f（x）的导函数，且定义在R上，对任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，试证明f（x）＞0．

Answer 1

分析：①（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，将g（x）代入化简得2xlnx+x²-ax+3≥0解出a要小于函数的最小值，利用导数讨论函数的增减性得到函数的最小值即可；
（2）将f（x）代入到方程中化简得k等于一个函数，求出函数的导函数=0时的x值，然后讨论函数的增减性得到函数的最大值，然后讨论k的范围决定方程解的个数；
②设g（x）=x²f（x），求导函数，确定函数的单调性，从而可得g（x）≥0，进而可得结论．

解答：解：①（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，
即2xlnx+x²-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤2lnx+x+

3

x

在x∈（0，+∞）恒成立，
令F（x）=2lnx+x+

3

x

，则F′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
令F′（x）=0，则x=1，∴F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴F_min=F（1）=4，∴只需a≤4．
（2）将原方程化为ln（1+x2）-

1

2

x²+1=k，
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²+1，为偶函数，且G（0）=1，x＞0时G′（x）=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

∴G（x）_max=

1

2

+ln2且x→+∞，y→-∞，
∴k＞

1

2

+ln2时，无解；k=

1

2

+ln2或k=1时，三解；1＜k＜

1

2

+ln2，四解；k＜1时，两解．
②证明：设g（x）=x²f（x），则令g'（x）=x[2f（x）+xf'（x）]=0得x=0
当x＜0，g'（x）＜0，∴函数g（x）单调递减；当x＞0，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增
∴g（x）_min=g（0）=0
∴g（x）≥0
∵f′（x）为f（x）的导函数，对任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，∴f（x）=0不成立
∴f（x）＞0．

点评：本题考查学生利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力，以及函数与方程的综合运用能力，考查不等式的证明，属于中档题．