Question

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．
（1）求k的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意，设燃料费为，
∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，
∴当v=10时，W₁=96，可得96=k×10²，解之得k=0.96．
（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．
∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元
因此，航行100海里的总费用为
=（0＜v≤15）
∵，
∴当且仅当时，即时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．
答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．
分析：（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W₁=96代入即可算出k的值；
（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．
点评：本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．