Question

【题目】设函数f（x）在R上存在导数f′（x），x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（ ）
A.[﹣2，2]
B.[2，+∞）
C.[0，+∞）
D.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣ x2，

∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣ x2+f（x）﹣ x2=0，

∴函数g（x）为奇函数．

∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，

故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，

由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，

∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+ （4﹣m）2﹣g（m）﹣ m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，

∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，

所以答案是：B．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．