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(2013•宝山区一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.
(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程;
(2)若直线AB的方向向量为
n
=(1,2)
,当焦点为F(
1
2
,0)
时,求△OAB的面积;
(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA、MF、MB的斜率成等差数列.
分析:(1)先由抛物线的方程得到其焦点坐标,设A(x0,y0),M(x,y),利用中点坐标公式得
x0=2x-1
y0=2y
,最后根据抛物线方程消去参数x0,y0,即得线段AF中点M的轨迹方程.
(2)先利用直线AB的方向向量,求出直线的斜率,得出直线方程;再与抛物线方程联立,求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离,代入△ABO面积的表达式,求出△ABO面积即可.
(3)显然直线MA、MB、MF的斜率都存在,分别设为k1、k2、k3.直线AB的方程与抛物线方程联立,结合根与系数的关系,证出k1+k2=2k3即可证得kMA、kMF、kMB成等差数列.
解答:解:(1)设A(x0,y0),M(x,y),焦点F(1,0),
则由题意
x=
x0+1
2
y=
y0
2
,即
x0=2x-1
y0=2y
…2分
所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1…4分
(2)y2=2x,F(
1
2
,0)
,直线y=2(x-
1
2
)=2x-1
,…5分
y2=2x
y=2x-1
得,y2-y-1=0,|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=
5
2
…7分
d=
1
5
,…8分
S△OAB=
1
2
d|AB|=
5
4
…9分
(3)显然直线MA、MB、MF的斜率都存在,分别设为k1、k2、k3
点A、B、M的坐标为A(x1y1)、B(x2y2)、M(-
p
2
,m)

设直线AB:y=k(x-
p
2
)
,代入抛物线得y2-
2p
k
y-p2=0
,…11分
所以y1y2=-p2,…12分
y12=2px1y22=2px2
因而x1+
p
2
=
y12
2p
+
p
2
=
1
2p
(y12+p2)
x2+
p
2
=
y22
2p
+
p
2
=
p4
2py12
+
p
2
=
p
2y12
(y12+p2)

因而k1+k2=
y1-m
x1+
p
2
+
y2-m
x2+
p
2
=
2p2(y1-m)
p(y12+p2)
+
2y12(-
p2
y1
-m)
p(y12+p2)
=-
2m
p
…14分
而2k3=
0-m
p
2
-(-
p
2
)
=-
2m
p
,故k1+k2=2k3.…16分.
点评:本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、方程思想.属于中档题.
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17
,数列{an}满足,(an+1-an)g(an)+f(an)=0(n∈N*).
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