Question

函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当x∈[-2，-1]时，f（x）=t（x+2）³-t（x+2）（t∈R），记函数y=f（x）的图象在（

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，f（

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2

））处的切线为l，f′（

1

2

）=1．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）点列B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），…，B_n（b_n，n+1）在l上，A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0）依次为x轴上的点，如图，当n∈N^*时，点A_n，B_n，A_n+1构成以A_nA_n+1为底边的等腰三角形．若x₁=a（0＜a＜1），求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a使得数列{x_n}是等差数列？如果存在，写出a的一个值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数y=f（x）是定义在R上的偶函数和f（-1+x）=f（-1-x）变形可得f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x），得到f（x）是周期为2的函数，取x∈[0，1]，则有x-2∈[-2，-1]，可化简f（x），最后由f′(

1

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)=1，求得t，从而得到f（x）．
（Ⅱ）在（I）下，求得切线的方程“B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），B_n（b_n，n+1）在l上”求得b_n“点A_n，B_n，A_n+1构成以A_nA_n+1为底边的等腰三角形”求得x_n+x_n+1=2b_n=2n①，由递推可得x_n+1+x_n+2=2n+2②两式相减得x_n+2-x_n=2，间隔项成等差数列．
（Ⅲ）假设{x_n}是等差数列，用等差数列的定义可有n-a-n-1+a=常数，不妨设常数为零则有a=

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2

．

解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x）
∴f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x）；
∴y=f（x）是周期为2的函数（1分）
∵当x∈[0，1]时，x-2∈[-2，-1]
∴f（x）=f（x-2）=tx³-tx
由f′(

1

2

)=1可知t=-4
∴f（x）=-4x³+4x，x∈[0，1]

（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在( 

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2

 ， f(

1

2

) )处的切线为l，且f′(

1

2

)=1，
∴切线l过点(

1

2

，

3

2

)且斜率为1，
∴切线l的方程为y=x+1
∵B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），B_n（b_n，n+1）在l上，有n+1=b_n+1即b_n=n
∵点A_n，B_n，A_n+1构成以A_nA_n+1为底边的等腰三角形
∴x_n+x_n+1=2b_n=2n①
同理x_n+1+x_n+2=2n+2②两式相减得x_n+2-x_n=2
∵x₁=a，x₂=2-a
∴xn=

n-1+a，n为奇数 n-a，n为偶数

（Ⅲ）假设{x_n}是等差数列，则n-a-n-1+a=常数，
不妨设常数为零
则有a=

1

2

．
故存在实数a使得数列{x_n}是等差数列．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的对称性，奇偶性，周期性，数列的定义及其通项，属中档题．