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精英家教网函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-1+x)=f(-1-x),当x∈[-2,-1]时,f(x)=t(x+2)3-t(x+2)(t∈R),记函数y=f(x)的图象在(
1
2
,f(
1
2
))处的切线为l,f′(
1
2
)=1.
(Ⅰ)求y=f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)点列B1(b1,2),B2(b2,3),…,Bn(bn,n+1)在l上,A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0)依次为x轴上的点,如图,当n∈N*时,点An,Bn,An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形.若x1=a(0<a<1),求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a使得数列{xn}是等差数列?如果存在,写出a的一个值;如果不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由函数y=f(x)是定义在R上的偶函数和f(-1+x)=f(-1-x)变形可得f(-1+x)=f(-1-x)=f(1+x),得到f(x)是周期为2的函数,取x∈[0,1],则有x-2∈[-2,-1],可化简f(x),最后由f(
1
2
)=1
,求得t,从而得到f(x).
(Ⅱ)在(I)下,求得切线的方程“B1(b1,2),B2(b2,3),Bn(bn,n+1)在l上”求得bn“点An,Bn,An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形”求得xn+xn+1=2bn=2n①,由递推可得xn+1+xn+2=2n+2②两式相减得xn+2-xn=2,间隔项成等差数列.
(Ⅲ)假设{xn}是等差数列,用等差数列的定义可有n-a-n-1+a=常数,不妨设常数为零则有a=
1
2
解答:解:(Ⅰ)∵函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-1+x)=f(-1-x)
∴f(-1+x)=f(-1-x)=f(1+x);
∴y=f(x)是周期为2的函数(1分)
∵当x∈[0,1]时,x-2∈[-2,-1]
∴f(x)=f(x-2)=tx3-tx
f(
1
2
)=1
可知t=-4
∴f(x)=-4x3+4x,x∈[0,1]

(Ⅱ)∵函数y=f(x)的图象在
1
2
 , f(
1
2
) )
处的切线为l,且f(
1
2
)=1

∴切线l过点(
1
2
3
2
)
且斜率为1,
∴切线l的方程为y=x+1
∵B1(b1,2),B2(b2,3),Bn(bn,n+1)在l上,有n+1=bn+1即bn=n
∵点An,Bn,An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形
∴xn+xn+1=2bn=2n①
同理xn+1+xn+2=2n+2②两式相减得xn+2-xn=2
∵x1=a,x2=2-a
xn=
 n-1+a,n为奇数
n-a,n为偶数

(Ⅲ)假设{xn}是等差数列,则n-a-n-1+a=常数,
不妨设常数为零
则有a=
1
2

故存在实数a使得数列{xn}是等差数列.
点评:本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了函数的对称性,奇偶性,周期性,数列的定义及其通项,属中档题.
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设函数y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)
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(3)证明:线段PM,PN长度的乘积PM•PN为定值;并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积..

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(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
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(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

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关于函数y=f(x),有下列命题:
①若a∈[-2,2],则函数f(x)=
x2+ax+1
的定域为R;
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)
,则f(x)的单调增区间为(-∞,
3
2
)

③(理)若f(x)=
1
x2-x-2
,则
lim
x→2
[(x-2)f(x)]=0

(文)若f(x)=
1
x2-x-2
,则值域是(-∞,0)∪(0,+∞)
④定义在R的函数f(x),且对任意的x∈R都有:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),则4是y=f(x)的一个周期.
其中真命题的编号是
 
.(文理相同)

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某服装批发商场经营的某种服装,进货成本40元/件,对外批发价定为60元/件.该商场为了鼓励购买者大批量购买,推出优惠政策:一次购买不超过50件时,只享受批发价;一次购买超过50件时,每多购买1件,购买者所购买的所有服装可在享受批发价的基础上,再降低0.1元/件,但最低价不低于50元/件.
(Ⅰ)问一次购买150件时,每件商品售价是多少?
(Ⅱ)问一次购买200件时,每件商品售价是多少?
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