【题目】如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,为边长为的等边三角形,.
(1) 证明:平面 平面;
(2)求二面角的平面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取中点,利用等腰直角三角形可得,连,利用勾股定理可证明 ,结合可得平面,利用面面垂直的判定定理可得结果;(2)以为原点,、、分别为轴建立空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)△ACD中,,
由余弦定理可得,,故,
所以,且△ACD为等腰直角三角形.
取CD中点O,由AC=AD得,AO⊥CD
连PO,PA⊥CD,
所以CD⊥平面POA
所以CD⊥PO
又AO=1,PO=1,
所以,,
,
所以PO⊥平面ABCD
又PO平面PCD
所以平面PCD⊥平面ABCD.
(2)以O为原点,OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
设平面PAB的法向量,,
令,则,所以
同理,平面PBC的法向量
故,.
所以,二面角A-PB-C的平面角为90°.
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【题目】“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3553等.显然2位“回文数”共9个:11,22,33,…,99.现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4,其结果记为X;从9个不同2位“回文数”中任取2个相加,其结果记为Y.
(1)求X为“回文数”的概率;
(2)设随机变量表示X,Y两数中“回文数”的个数,求的概率分布和数学期望.
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【题目】已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
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【题目】如图,四棱锥中,,,,,.
(Ⅰ)求异面直线AB与PD所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明:平面平面PBD;
(Ⅲ)求直线DC与平面PBD所成角的正弦值.
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【题目】已知双曲线的实轴端点分别为,记双曲线的其中一个焦点为,一个虚轴端点为,若在线段上(不含端点)有且仅有两个不同的点,使得,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分).以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界曲线符合函数模型.园区服务中心P在x轴正半轴上,PO=百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道直线段PQ最短.
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【题目】已知双曲线方程为.
(1)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求的值;
(2)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.
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