Question

过平行四边形ABCD的顶点B、C、D的圆与直线AD相切，与直线AB相交于点E，已知AD=4，CE=5．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求AE的长；
（2）点E能否在线段AB的延长线上？（即图2的情形是否存在？）若能，求出AE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆的内接梯形得线段相等，再利用切割线定理解决第（1）题，
（2）而第（2）题是探究性问题，利用反证法证明，应假设其存在，再推出矛盾或符合题意．
解答：解：（1）由圆的内接梯形知BD=EC=5，
由同弧上的圆周角和弦切角的关系可得
△DCE为等腰三角形，且AB=CD=CE=BD，
再由切割线定理得：AD²=AB•AE，
∵AD=4，AB=CE=5，
∴得AE=3.2；
（2）点E不能在AB的延长线上．
假设图形（2）存在，
则由已知得AB=BD=CE，
又AD²=AB•AE=CE•AE≥CE²，
∴CE²≤16，
即CE≤4与已知矛盾．
故假设不存在，
点E不能在AB的延长线上．
点评：本题主要考查了反证法、圆的切割线定理等，对于探究性问题，常利用反证法进行证明，首先应假设其存在，再推出矛盾或符合题意．