Question

【题目】已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由离心率及2ab＝4，结合a2＝b2+c2，解得a、b，即可求得椭圆C的方程；

（2）由题意可设直线l：x＝my，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，将用m与x0表示，利用对应系数成比例，即可求得x0，代入得为定值；

（1）由得：所以椭圆方程为

（2）由于直线l过右焦点F（1，0），可设直线l方程为：x=my+1,代入椭圆方程并整理得：（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0)

△=64-（4+3m2) (4-12m2)>0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，

由韦达定理得：x1+x2=, x1x2= ，y1+y2=,y1y2

假设在x轴上存在定点P(x0,0)，使为定值，则：

(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+x02=+-+x02

=

由题意，上式为定值，所以应有：

即：12x02-48=-15-24x0+12x02

解得：x0=,

此时