Question

10．已知M={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1．x＜0}，
（1）若M∩N中有两个元素，求实数m的取值范围；
（2）若M∩N中只有一个元素，求实数m的取值范围．
（3）若M∩N=∅，求实数m的取值范围（只要写答案）．

Answer 1

分析 （1）已知条件转化为x²+（2-2m）x+m+5=0有两个负根，由此利用根的判别式和韦达定理能求出实数m的取值范围．
（2）已知条件转化为x²+（2-2m）x+m+5=0只有一个负根，由此利用根的判别式和韦达定理能求出实数m的取值范围．
（3）已知条件转化为x²+（2-2m）x+m+5=0无负数根，由此利用根的判别式和韦达定理能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵M={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N中有两个元素，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0有两个负数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2m）^{2}-4（m+5）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2m-2＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m+5＞0}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜-1，
∴实数m的取值范围是（-5，-1）．
（2）∵M={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N中只有一个元素，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0有一个负根，
从以下两方面来考虑：
①由△=（2-2m）²-4（m+5）=0，解得m=4或m=-1，
当m=4时，x²+（2-2m）x+m+5=0转化为（x-3）²=0，解得x=3不成立；
当m=-1时，x²+（2-2m）x+m+5=0转化为（x+2）²=0，解得x=-2，成立．
∴m=-1．
②令g（x）=x²+（2-2m）x+m+5，
∵M∩N中只有一个元素，
∴g（0）=m+5＜0，解得m＜-5．
综上，实数m的取值范围是{-1}∪（-∞，-5）．
（3）∵M={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N=∅，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0无负数根，
从以下两方面来考虑：
①△=（2-2m）²-4（m+5）＜0，$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2m）^{2}-4（m+5）≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2m-2≥0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m+5≥0}\end{array}\right.$，
解得m＞-1．
②令g（x）=x²+（2-2m）x+m+5，
∵M∩N=∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ 2m-2≥0\\ m+5≥0\end{array}\right.$
解得m∈∅．
综上，实数m的取值范围是（-1，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．