Question

（2012•德阳二模）已知x₁，x₂为三次函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的两个极值点，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则a-2b的范围是（　　）

A．（-5，-2）

B．（-2，-1）

C．（-5，-1）

D．（-∞，-1）

Answer 1

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答：解：求导函数可得f'（x）=x²+ax+2b
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
等价于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．
∴

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．
满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，
三角形的三个顶点坐标为（-1，0），（-2，0），（-3，1），
分别代入a-2b得：-1-2×0=-1，-2-2×0=-2，-3-2×1=-5．
∴a-2b的范围是（-5，-1），
故选C．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题．