Question

已知在正项数列{a_n}中，S_n表示前n项和且2

Sn

=a_n+1，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：将条件平方，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求a_n．

解答：解：∵2

Sn

=a_n+1，
∴4Sn=(an+1)2，
∴n≥2时，4Sn-1=(an-1+1)2，
两式相减可得4an=(an+1)2-(an-1+1)2，
化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列各项为正，
∴a_n-a_n-1=2，
∵2

a1

=a₁+1，
∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
故答案为：2n-1．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查数列的通项，确定数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列是关键．