Question

16．△ABC的三边a，b，c满足关系c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，角C为锐角．
（1）求∠C的度数；
（2）求函数式sinA+sinB及sinAcosB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把已知c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0等式通过完全平方式、拆分项转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0．分两种情况，根据余弦定理即可求得∠C的度数．
（2）由A的度数得到B+C的度数，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可，同理可求sinAcosB的取值范围．

解答 解：（1）∵c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，
⇒c⁴-2（a²+b²）c²+（a²+b²）²-a²b²=0，
⇒[c²-（a²+b²）]²-（ab）²=0，
⇒（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，
∴c²-a²-b²-ab=0或c²-a²-b²+ab=0，
当c²-a²-b²+ab=0时，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴∠C=$\frac{π}{3}$，
当c²-a²-b²-ab=0时，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴∠C=$\frac{2π}{3}$（舍去），
综上可得：∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，
∴B+A=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{2π}{3}$-B，
∴sinB+sinA=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即$\frac{3}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
则sinB+sinA的范围为（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
∵sinAcosB=sin（$\frac{2π}{3}$-B）cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²B+$\frac{1}{2}$sinBcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}cos2B+\frac{1}{4}sin2B+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴-1＜sin（2B+$\frac{π}{3}$）≤1，即$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$，
则sinB+sinA的范围为[$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$]．

点评 本题考查了余弦定理，以及因式分解的应用，解决本题的关键是将原式转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，再利用余弦定理求得∠C的度数．