Question

设P：关于x的不等式2^|x|＜a的解集为∅，Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求实数a的范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性，解不等式2^|x|＜a，我们可以求出使命题P为真时，参数a的取值范围，根据对数函数的定义域及二次函数恒成立的充要条件，我们易求出命题Q为真时，参数a的取值范围，进而根据P和Q有且仅有一个正确，分P真Q假或者P假Q真两种情况讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：若P：关于x的不等式2^|x|＜a的解集为∅，为真命题
则a≤1---------------4分
若Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，即ax²-x+a＞0恒成立
即

a＞0 △=1-4a2＜0

解得a＞

1

2

------------------------8分
∵P和Q有且仅有一个正确
∴P真Q假或者P假Q真------------------9分
ⅰ：若P真Q假，则a≤

1

2

ⅱ：若P假Q真，则a＞1-----------------------------------------13分
综上可得，所求a的取值范围为（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）------------------------14分

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据解指数形式，求出命题P为真时，参数a的取值范围，根据对数函数的定义域及二次函数恒成立的充要条件求出命题Q为真时，参数a的取值范围，是解答本题的关键．