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    设F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
    3
    2
    ）到F1，F2的距离之和为4．
    （1）求椭圆方程；
    （2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
    OP
    |＜
    1
    2
    ；
    （3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM•KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
    3
    4
    的什么条件？证明你的结论．
    分析：（1）由题意可得
    1
    a2
    +
    9
    4b2
    =1
    2a=4
    ，解得即可；
    （2）利用线段垂直平分线的性质和点在椭圆上即可得出；
    （3）利用“点M，N关于原点对称”和斜率计算公式即可得出．
    解答：解：（1）由题意可得
    1
    a2
    +
    9
    4b2
    =1
    2a=4
    ，解得a=2，b2=3．
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），
    则|PM|=|PN|，∴(x1-x0)2+
    y
    2
    1
    =(x2-y2)2+
    y
    2
    2
    ．（*）
    又M，N在椭圆上，∴
    y
    2
    1
    =3-
    3
    4
    x
    2
    1
    ，
    y
    2
    2
    =3-
    3
    4
    x
    2
    2
    ；
    代入（*）得x0=
    x1+x2
    8
    ＜
    2+2
    8
    =
    1
    2
    ，则有|
    OP
    |＜
    1
    2
    ．
    （3）“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
    3
    4
    的充要条件．
    证明：设M（x1，y1），Q（x0，y0），则N（-x1，-y1）．
    于是
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    3
    =1    ，
    x
    2
    0
    4
    +
    y
    2
    0
    3
    =1    ，得到
    y
    2
    1
    -
    y
    2
    0
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    0
    =-
    3
    4
    ．
    ∴kQM•kQN=
    y1-y0
    x1-x0
    •
    -y1-y0
    -x1-x0
    =
    y
    2
    1
    -
    y
    2
    0
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    0
    =-
    3
    4
    ?点M，N关于原点对称．
    点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、充要条件等是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    6m2
    +
    y2
    2m2
    =1    （m＞0）的左，右焦点．
    （1）当P∈C，且
    PF1
    •
    PF
    2    =0    ，|PF1|•|PF2|=8时，求椭圆C的左，右焦点F1、F2．
    （2）F1、F2是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q的作⊙F2切线QM，使得|QF1|=
    		2
    |QM|    （M是切点），如图．求动点Q的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，
    3
    2
    )    到F1，F2两点距离之和等于4．
    （Ⅰ）求此椭圆方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
    1
    8
    ，0)    ，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设F1、F2分别是椭圆C：
    x2
    6m2
    +
    y2
    2m2
    =1    （m＞0）的左、右焦点．
    （I）当p∈C，且
    pF1
    •
    pF
    2    =0    ，|
    pF1
    |•|
    pF
    2    |=4    时，求椭圆C的左、右焦点F1、F2的坐标．
    （II）F1、F2是（I）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q作的切线QM（M为切点），使得|QF1|=
    		2
    |QM|    ，求动点Q的轨迹．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•肇庆二模）设F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点．
    （1）设椭圆C上的点(
    		2
    2
    ，
    		3
    2
    )    到F1，F2两点距离之和等于2
    		2
    ，写出椭圆C的方程；
    （2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
    （3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

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