Question

20．已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，证明：$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…\frac{1}{b_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用方程组思想求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，利用裂项法证明不等式．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10，
联立解得：d=1，∴a_n=n+1；
（2）证明：由（1）知，b_n=（n+1）（n+2）
∴$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+----+\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项，考查裂项法求数列的和，属于中档题．