Question

【题目】已知函数在上是增函数，且．

（1）求a的取值范围；

（2）求函数在上的最大值．

（3）已知，证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）的导数为，由函数在上是增函数，可求的取值范围；（2）讨论函数的单调性，可得到函数在[0，+∞）上的最大值；（3）结合函数在（1，+∞）上是增函数，可得，化简即，又因为，则由（2）的性质可得

试题解析：（1）的导数为，

因为函数在上是增函数，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以只需，

又因为，所以

（2）因为x∈[0，+∞），所以

所以在[0，+∞）上单调递减，

所以在[0，+∞）上的最大值为．

（3）证明：因为a＞1，b＞0，所以，

由（1）知在（1，+∞）上是增函数，所以，

即，化简得，

又因为，

由第（2）问可知，

即，

综上得证．