Question

14．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；
（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．

解答 解：（ 1）将圆C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即k=2±$\sqrt{6}$，
从而切线方程为y=（2±$\sqrt{6}$）x．…（3分）
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y-a=0，
由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y-3=0．∴所求切线的方程为y=（2±$\sqrt{6}$）x
x+y+1=0或x+y-3=0．…（6分）
（2）由|PO|=|PM|得，x₁²+y₁²=（x₁+1）²+（y₁-2）²-2⇒2x₁-4y₁+3=0..…（8分）
即点P在直线l：2x-4y+3=0上，|PM|取最小值时即
|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…（10分）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{2x-4y+3=0}\end{array}\right.$得P点坐标为（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．…（12分）

点评 本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解．