Question

椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且|AB|=3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x=ky+1与C交于相异两点M、N，且，求k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标，及|AB|=3，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线x=ky+1代入椭圆方程，消去x可得一元二次方程，利用韦达定理及向量条件，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意，，∴a²=5，b²=4
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）直线x=ky+1代入椭圆方程，消去x可得（5k²+4）y²+8ky-16=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=，y₁y₂=
∴
∵
∴
∴k²=1，从而k=±1
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．